最优停止理论:解读秘书问题中的37%法则

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秘书问题的背景

秘书问题是最优停止理论的经典例子。假设你是一位老板,正在为一份工作面试100名申请人。在整个面试过程中,你只能在面试结束后决定是否录用这位申请人。一旦决定录用,面试过程就终止,之后的申请人将无法参加面试。你的目标是尽可能地选中最优秀的申请人。那么,在面试过程中如何找到最优解呢?

摸清情况再行动准则

在面临多个选择时,最优停止理论建议采用“摸清情况再行动准则”(look-then-leap rule),分为两个阶段:观察期和行动期。
  1. 观察期:在这段时间里,不要接受任何人的申请。收集数据,了解各个申请人的表现。
  1. 行动期:观察期结束后,一旦发现比之前所有申请人都更优秀的人选,就要毫不犹豫地选择他/她。
利用这个准则我们可以总结出一个秘书问题的表格
申请人总数
划入观察期人数
选中最优秀人选的概率
3
1(33.33%)
50%
4
1(25%)
45.83%
5
2(40%)
43.33%
6
2(33.33%)
42.78%
7
2(28.57%)
41.43%
8
3(37.5%)
40.98%
9
3(33.33%)
40.59%
10
3(30%)
39.87%
20
7(35%)
37.97%
30
11(36.67%)
37.57%
50
18(36%)
37.23%
100
37(37%)
37.10%
500
185(37%)
36.79%
1000
368(36.8%)
36.77%
10000
3679(36.79%)
36.77%
是自然对数函数的底数,约等于2.71828
划入观察期人数
选中最优秀人选的概率
 

揭秘37%法则

数学家们发现,将观察期和行动期的分界线设定在申请人总数的37%处是最佳选择。也就是说,在前37%的申请人中,我们不接受任何人的申请;然后,只要遇到比之前所有人选都优秀的申请人,就毫不犹豫地选择他。根据这个策略,我们成功选中最优秀申请人的概率为37%。

数学对称性的美妙

令人惊讶的是,这个策略与我们实际选中最优秀申请人的概率相等,这种现象反映了一种奇妙的数学对称性。值得注意的是,这个概率不会随着申请人数量的增加而降低。无论申请人总数是100还是100万,我们成功选中最优秀申请人的概率都是37%。这说明,最优停止理论在面对更多选择时,最优停止理论反而变得更有价值。

接受现实:63%的失败率

然而,最优停止理论并非万能。即使采用最理想的策略,我们依然有63%的失败率。这意味着,在大多数情况下,我们都无法选中所有申请人中最优秀的那个。这对于将爱情视为寻找“真命天子”的人来说,确实是一个坏消息。但从另一个角度看,这个现实也教会我们在面对不完美的选择时,如何调整心态和期望。

应用最优停止理论的启示

  1. 理性决策:当面临重要的选择时,我们应该首先观察和收集信息,了解大局后再作出决策。这有助于我们做出更明智的选择。
  1. 把握时机:在观察期结束后,我们应该敢于抓住机会。当发现一个比观察期中最优秀申请人还要优秀的人选时,不要犹豫,果断采取行动。
  1. 适时调整期望:理解最优停止理论的局限性,认识到即使采用最佳策略,也可能无法选中最优秀的申请人。在面临现实的不完美选择时,学会调整期望,接受现实。

结论

总的来说,最优停止理论和秘书问题中的37%法则为我们在面临诸多选择时提供了一个有趣且实用的决策框架。通过理解这个理论,我们可以更好地评估各种选择,做出更明智的决策。同时,我们也应认识到这个理论的局限性,并学会在面对现实的不完美选择时调整自己的期望。虽然最优停止理论并非万能,但它无疑是我们在人生道路上寻找最佳选择的一个重要工具。
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